插值法的概念是什么(插值法计算公式)

插值法的概念是什么?

1、一维插值问题：

问题如下：已经有n+1个节点

，其中

互不相同，不妨假设

，求任意插值点

处的插值

思路：构造出一个函数y=f(x)，使得f(x)结果所有的点，求

即可得到

2、插值法的概念：

设函数y= f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点

上的值分别为

若存在一个简单的函数P(x)，使

则称P(x)为f(x)的插值函数，点

称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 若P(x)是次数不超过n的代数多项式，即

，就称为插值多项式 若P(x)为分段多项式，就称为分段插值 若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。 3、一般插值多项式原理

定理：设有n+1个互不相同的节点

则存在唯一的多项式：

使得

证明：构造方程组

令：

方程组的矩阵形式如下：AX=Y(4)

由于

所以方程组(4)存在唯一解

从而

唯一存在

注1：只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一的

注2：如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一

4、拉格朗日插值法

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在若干个不容的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

两个点

我们可以构造出在两点之间的任意的一点对应的插值

三个点

对于四个点甚至更多的点，我们可以依次写出

数学表达：

高次插值会产生龙格现象，即在两端处的波动极大，产生明显的震荡。在不清楚运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。

5、分段线性插值

由于插值多项式的次数越高未必能提高精度，反而可能回增大误差，所以引入分段插值。

最简单的就是分段线性插值，相邻的两点之间连成一条线段来拟合所有的点。

6、分段二次插值(分段抛物插值)

选取跟节点x最近的三个节点

进行二次插值，即在每一个区间

上，取

这种分段的低次插值称为分段二次插值，在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x)，所以分段二次插值又称为分段抛物插值。

7、埃尔米特(Hermite)插值

不做过多叙述，就是它即满足函数值相等，又满足导数值相等，甚至是高阶导数值还相等的不超过(2n+1)次的多项式。既然是多项式肯定存在龙格现象，因此我们使用分段的方法来降低误差，减少龙格。

8、分段三次埃尔米特插值(常用)

直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象。因此在实际使用中，往往使用分段三次Hermite插值多项式(PCHIP)。

证明推导太过复杂，掌握怎么使用即可。

matlab有内置函数pchip()

x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-') % 此处的'o'用来修饰plot(x,y) % plot函数用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 线方式： - 实线 :点线 -. 虚点线 -- 波折线 % 点方式： . 圆点 +加号 * 星号 x x形 o 小圆 % 颜色： y黄; r红; g绿; b蓝; w白; k黑; m紫; c青

9、三次样条插值(常用)

三次样条插值需要满足更严苛的条件：

函数值相等S(x) =f(x) 在每个子区间上S(x)都是三次多项式 S(x)在[a,b]上二阶可微

主要来说应用

matlab有内置的函数spline(x,y,new_x)

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃尔米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次样条插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast') % legend(String1, string2, String3,...)每个String与绘图之间有顺序对应关系 % Location 表示legend的位置，上述语句表示在SouthEast东南方向

可以看出，三次样条生成的曲线更加光滑。在实际过程中，由于我们不知道数据的生成过程，因此两种插值都可以使用。

以上就是关于插值法的概念及计算公式的相关内容，希望对您有所帮助。

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